Contoh soal matematika kelas x semester 2 kurikulum 2013

Menguasai Matematika Kelas X Semester 2 Kurikulum 2013: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, memegang peranan krusial dalam membentuk pola pikir logis dan analitis siswa. Di jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), khususnya kelas X semester 2, materi matematika dirancang untuk membangun fondasi yang kuat bagi pemahaman konsep-konsep yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Kurikulum 2013, dengan pendekatannya yang berpusat pada siswa dan penekanan pada pemecahan masalah, menghadirkan berbagai topik menarik yang perlu dikuasai.

Artikel ini akan mengupas tuntas beberapa topik kunci dalam matematika kelas X semester 2 berdasarkan Kurikulum 2013, disertai dengan contoh-contoh soal yang representatif beserta pembahasannya. Tujuannya adalah untuk memberikan panduan komprehensif bagi siswa dalam mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester, maupun penilaian akhir semester.

Topik Kunci Matematika Kelas X Semester 2 Kurikulum 2013

Secara umum, materi matematika kelas X semester 2 Kurikulum 2013 mencakup beberapa bab penting, di antaranya:

1. Trigonometri Dasar: Memahami perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen) pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri dasar, serta aplikasi dalam pemecahan masalah.
2. Dimensi Tiga (Geometri Ruang): Mempelajari konsep jarak dan sudut dalam bangun ruang, seperti kubus, balok, prisma, dan limas.
3. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Memahami sifat-sifat nilai mutlak dan bagaimana menyelesaikan persamaan serta pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak.
4. Fungsi Kuadrat: Menganalisis grafik fungsi kuadrat, menentukan titik puncak, sumbu simetri, akar-akar, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Mari kita selami lebih dalam setiap topik dengan contoh soalnya.

>

1. Trigonometri Dasar

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas X, fokusnya adalah pada pemahaman konsep dasar yang akan menjadi landasan untuk materi yang lebih lanjut.

Konsep Penting:

• Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku:
  • Sinus (sin) = sisi depan / sisi miring
  • Kosinus (cos) = sisi samping / sisi miring
  • Tangen (tan) = sisi depan / sisi samping
  • Kosekan (csc) = 1 / sin
  • Sekan (sec) = 1 / cos
  • Kotan (cot) = 1 / tan
• Identitas Trigonometri Dasar:
  • sin²θ + cos²θ = 1
  • 1 + tan²θ = sec²θ
  • 1 + cot²θ = csc²θ
• Sudut Istimewa: Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.

Contoh Soal 1:

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A.

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring AC menggunakan teorema Pythagoras:
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = √100 = 10 cm

Sekarang kita bisa menghitung perbandingan trigonometri untuk sudut A:

• sin A: Sisi depan sudut A adalah BC, dan sisi miring adalah AC.
  sin A = BC / AC = 6 / 10 = 3/5
• cos A: Sisi samping sudut A adalah AB, dan sisi miring adalah AC.
  cos A = AB / AC = 8 / 10 = 4/5
• tan A: Sisi depan sudut A adalah BC, dan sisi samping adalah AB.
  tan A = BC / AB = 6 / 8 = 3/4

Contoh Soal 2:

Tentukan nilai dari: sin 30° + cos 60° – tan 45°

Pembahasan:

Kita menggunakan nilai-nilai sudut istimewa:
sin 30° = 1/2
cos 60° = 1/2
tan 45° = 1

Maka, perhitungannya adalah:
1/2 + 1/2 – 1 = 1 – 1 = 0

>

2. Dimensi Tiga (Geometri Ruang)

Materi ini mengajak siswa untuk membayangkan dan menganalisis objek-objek tiga dimensi. Fokus utamanya adalah menghitung jarak antara titik, garis, dan bidang, serta sudut antara garis dan bidang, atau antara dua bidang.

Konsep Penting:

• Jarak: Jarak antara dua titik, titik ke garis, titik ke bidang.
• Sudut: Sudut antara dua garis, garis ke bidang, dua bidang.
• Proyeksi: Pengertian proyeksi titik pada garis, titik pada bidang, garis pada bidang.

Contoh Soal 3:

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke titik G.

Pembahasan:

Jarak titik A ke titik G adalah panjang diagonal ruang kubus. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras secara berulang atau rumus diagonal ruang kubus.

• Menggunakan Teorema Pythagoras:
  Pertama, cari panjang diagonal bidang AC:
  AC² = AB² + BC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72
  AC = √72 = 6√2 cm

  Selanjutnya, perhatikan segitiga ACG yang siku-siku di C. AG adalah sisi miringnya.
  AG² = AC² + CG²
  AG² = (6√2)² + 6²
  AG² = 72 + 36
  AG² = 108
  AG = √108 = √(36 * 3) = 6√3 cm

• Menggunakan Rumus Diagonal Ruang:
  Rumus diagonal ruang kubus dengan panjang rusuk ‘s’ adalah d = s√3.
  Jadi, AG = 6√3 cm.

Contoh Soal 4:

Diketahui sebuah limas segitiga beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas AB = BC = AC = 6 cm dan panjang rusuk tegak TA = TB = TC = 5 cm. Tentukan jarak titik T ke bidang alas ABC.

Pembahasan:

Jarak titik T ke bidang alas ABC adalah tinggi limas. Untuk limas beraturan, proyeksi titik puncak (T) pada bidang alas adalah titik pusat alas. Pada segitiga sama sisi ABC, titik pusatnya adalah titik berat (perpotongan garis berat).

Misalkan O adalah titik berat segitiga ABC. Kita perlu mencari panjang AO.
AO adalah 2/3 dari panjang garis berat dari A ke titik tengah BC.
Misalkan M adalah titik tengah BC. Panjang AM (tinggi segitiga sama sisi) = (s√3)/2 = (6√3)/2 = 3√3 cm.
Panjang AO = (2/3) AM = (2/3) 3√3 = 2√3 cm.

Sekarang perhatikan segitiga siku-siku TOA, siku-siku di O.
TA² = TO² + AO²
5² = TO² + (2√3)²
25 = TO² + 12
TO² = 25 – 12
TO² = 13
TO = √13 cm.

Jadi, jarak titik T ke bidang alas ABC adalah √13 cm.

>

3. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, sehingga selalu bernilai non-negatif. Materi ini penting untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan dan pertidaksamaan.

Konsep Penting:

• Definisi nilai mutlak:
  |x| = x, jika x ≥ 0
  |x| = -x, jika x < 0
• Sifat-sifat nilai mutlak:
  • |a| = |b| ⇔ a = b atau a = -b
  • |a| = k ⇔ a = k atau a = -k (untuk k ≥ 0)
  • |a|² = a²

Contoh Soal 5:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2x – 1| = 5.

Pembahasan:

Menggunakan sifat |a| = k ⇔ a = k atau a = -k:
Kasus 1: 2x – 1 = 5
2x = 6
x = 3

Kasus 2: 2x – 1 = -5
2x = -4
x = -2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah -2, 3.

Contoh Soal 6:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x + 3| < 4.

Pembahasan:

Menggunakan sifat |a| < k ⇔ -k < a < k:
-4 < x + 3 < 4

Kita pecah menjadi dua pertidaksamaan:
a) -4 < x + 3
-4 – 3 < x
-7 < x

b) x + 3 < 4
x < 4 – 3
x < 1

Menggabungkan kedua hasil: -7 < x < 1.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x .

>

4. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua, yang grafiknya berbentuk parabola. Memahami karakteristiknya sangat penting untuk memecahkan berbagai masalah, mulai dari optimasi hingga model fisika.

Konsep Penting:

• Bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0.
• Titik Puncak (Ekstremum):
  • Koordinat x puncak: xp = -b / 2a
  • Koordinat y puncak: yp = f(xp) = -(D) / 4a, di mana D = b² – 4ac (diskriminan).
• Sumbu Simetri: Garis vertikal yang melalui titik puncak, persamaannya x = xp.
• Akar-akar (Titik Potong dengan Sumbu X): Nilai x ketika f(x) = 0. Dapat dicari menggunakan rumus kuadratik: x = / 2a.
• Titik Potong dengan Sumbu Y: Nilai f(x) ketika x = 0, yaitu f(0) = c.
• Arah Terbuka Parabola:
  • Jika a > 0, parabola terbuka ke atas (memiliki titik minimum).
  • Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah (memiliki titik maksimum).

Contoh Soal 7:

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x² – 6x + 5. Tentukan:
a. Titik puncak
b. Sumbu simetri
c. Akar-akar fungsi
d. Arah terbuka parabola

Pembahasan:

Dari f(x) = x² – 6x + 5, kita peroleh a = 1, b = -6, dan c = 5.

a. Titik Puncak:
xp = -b / 2a = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3
yp = f(3) = (3)² – 6(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = -4
Jadi, titik puncaknya adalah (3, -4).

b. Sumbu Simetri:
x = xp = 3.

c. Akar-akar Fungsi:
Kita cari nilai x ketika f(x) = 0: x² – 6x + 5 = 0
Faktorkan: (x – 1)(x – 5) = 0
Maka, x = 1 atau x = 5.
Akar-akarnya adalah 1 dan 5.

d. Arah Terbuka Parabola:
Karena a = 1 (positif), maka parabola terbuka ke atas.

Contoh Soal 8:

Sebuah bola diluncurkan ke atas. Ketinggian bola (dalam meter) setelah t detik dinyatakan oleh rumus h(t) = -2t² + 8t + 10. Tentukan ketinggian maksimum yang dapat dicapai bola.

Pembahasan:

Fungsi ketinggian h(t) = -2t² + 8t + 10 adalah fungsi kuadrat dengan a = -2, b = 8, dan c = 10. Karena a < 0, parabola terbuka ke bawah, sehingga memiliki nilai maksimum. Ketinggian maksimum dicapai pada koordinat y dari titik puncak.

xp = -b / 2a = -8 / (2 * -2) = -8 / -4 = 2 detik.

Ketinggian maksimum (yp) adalah h(2):
h(2) = -2(2)² + 8(2) + 10
h(2) = -2(4) + 16 + 10
h(2) = -8 + 16 + 10
h(2) = 18 meter.

Jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai bola adalah 18 meter.

>

Kesimpulan

Menguasai materi matematika kelas X semester 2 Kurikulum 2013 membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Topik-topik seperti trigonometri dasar, dimensi tiga, persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, serta fungsi kuadrat merupakan fondasi penting. Dengan memahami contoh-contoh soal dan pembahasannya, siswa diharapkan dapat membangun kepercayaan diri dan kemahiran dalam menyelesaikan berbagai tantangan matematika. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan adalah ketekunan, bertanya ketika bingung, dan terus berlatih. Selamat belajar!

>