Menguasai Matematika Kelas XI IPS Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan
Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, terutama bagi siswa-siswi jurusan Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS). Namun, dengan pemahaman yang tepat dan latihan yang konsisten, matematika dapat menjadi alat yang sangat berguna untuk menganalisis berbagai fenomena sosial dan ekonomi. Semester 2 kelas XI IPS biasanya berfokus pada topik-topik yang relevan dengan pemodelan dan analisis data, yang esensial dalam dunia yang semakin terdigitalisasi.
Artikel ini akan membimbing Anda melalui beberapa contoh soal matematika kelas XI IPS semester 2 yang sering dijumpai, lengkap dengan penjelasan mendalam dan langkah-langkah penyelesaiannya. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya mampu menjawab soal-soal tersebut, tetapi juga memahami konsep di baliknya, sehingga dapat menerapkannya dalam berbagai konteks.
Topik Utama Matematika Kelas XI IPS Semester 2
Pada semester 2, materi matematika kelas XI IPS umumnya mencakup beberapa topik kunci, di antaranya:
- Statistika: Meliputi penyajian data, ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, desil, persentil, simpangan baku), dan distribusi data.
- Peluan: Membahas kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, kombinasi), peluang kejadian tunggal, peluang kejadian majemuk (saling lepas, saling lepas, kejadian bersyarat), dan aplikasi peluang.
- Vektor: Pengenalan konsep vektor, operasi vektor (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar), vektor di ruang dimensi dua dan tiga, serta aplikasi vektor dalam geometri dan fisika sederhana.
- Fungsi Trigonometri (Terkadang): Beberapa kurikulum mungkin menyertakan pengenalan dasar fungsi trigonometri dan grafiknya, meskipun ini lebih umum di jurusan IPA.
Fokus utama kita dalam artikel ini adalah Statistika dan Peluang, karena kedua topik ini paling sering diintegrasikan dalam konteks IPS untuk analisis data dan pengambilan keputusan.
>
Bagian 1: Statistika – Memahami Data di Sekitar Kita
Statistika adalah cabang matematika yang berurusan dengan pengumpulan, pengorganisasian, penyajian, analisis, dan interpretasi data. Dalam konteks IPS, statistika digunakan untuk memahami tren sosial, ekonomi, demografi, dan banyak lagi.
Contoh Soal 1: Ukuran Pemusatan Data Kelompok
Soal: Data nilai ulangan matematika 40 siswa kelas XI IPS disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut:
| Nilai | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 50 – 59 | 5 |
| 60 – 69 | 12 |
| 70 – 79 | 15 |
| 80 – 89 | 8 |
Hitunglah:
a. Mean (Rata-rata) nilai ulangan.
b. Median (Nilai tengah) nilai ulangan.
c. Modus (Nilai yang paling sering muncul) nilai ulangan.
Pembahasan:
Untuk data berkelompok, kita memerlukan beberapa nilai tambahan dari tabel untuk perhitungan.
| Nilai | Frekuensi (f) | Titik Tengah (xᵢ) | f * xᵢ | Batas Bawah (L) | fkum |
|---|---|---|---|---|---|
| 50 – 59 | 5 | 54.5 | 272.5 | 50 | 5 |
| 60 – 69 | 12 | 64.5 | 774 | 60 | 5 + 12 = 17 |
| 70 – 79 | 15 | 74.5 | 1117.5 | 70 | 17 + 15 = 32 |
| 80 – 89 | 8 | 84.5 | 676 | 80 | 32 + 8 = 40 |
| Total | 40 | 2840 |
Catatan: Titik tengah (xᵢ) dihitung dengan (batas atas + batas bawah) / 2. Misalnya, untuk kelas pertama: (59 + 50) / 2 = 54.5.
a. Menghitung Mean (Rata-rata)
Rumus mean data berkelompok:
$barx = fracsum (f cdot x_i)sum f$
Dari tabel, $sum (f cdot x_i) = 2840$ dan $sum f = 40$.
$barx = frac284040 = 71$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika adalah 71.
b. Menghitung Median (Nilai Tengah)
Median adalah nilai tengah. Untuk data berkelompok, kita perlu mencari kelas median terlebih dahulu. Posisi median adalah $frac12 n$, di mana $n$ adalah jumlah total data.
Posisi median = $frac12 times 40 = 20$.
Kelas median adalah kelas yang memuat data ke-20. Berdasarkan kolom $f_kum$ (frekuensi kumulatif), data ke-20 berada di kelas 70 – 79 (karena frekuensi kumulatif sebelum kelas ini adalah 17, dan frekuensi kumulatif di kelas ini adalah 32).
Rumus median data berkelompok:
$Me = L + left(fracfrac12n – fkum sebelumfkelas medianright) cdot p$
Dimana:
- $L$ = Batas bawah kelas median = 70
- $n$ = Jumlah total data = 40
- $f_kum sebelum$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 17
- $f_kelas median$ = Frekuensi kelas median = 15
- $p$ = Panjang interval kelas = (batas atas – batas bawah) + 1 = (79 – 70) + 1 = 10
$Me = 70 + left(fracfrac12(40) – 1715right) cdot 10$
$Me = 70 + left(frac20 – 1715right) cdot 10$
$Me = 70 + left(frac315right) cdot 10$
$Me = 70 + left(frac15right) cdot 10$
$Me = 70 + 2$
$Me = 72$
Jadi, median nilai ulangan matematika adalah 72.
c. Menghitung Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)
Modus adalah nilai dengan frekuensi tertinggi. Dalam tabel, kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 70 – 79 (dengan frekuensi 15).
Rumus modus data berkelompok:
$Mo = L + left(fracd_1d_1 + d_2right) cdot p$
Dimana:
- $L$ = Batas bawah kelas modus = 70
- $d1$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = $fmodus – f_sebelum = 15 – 12 = 3$
- $d2$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = $fmodus – f_sesudah = 15 – 8 = 7$
- $p$ = Panjang interval kelas = 10
$Mo = 70 + left(frac33 + 7right) cdot 10$
$Mo = 70 + left(frac310right) cdot 10$
$Mo = 70 + 3$
$Mo = 73$
Jadi, modus nilai ulangan matematika adalah 73.
>
Contoh Soal 2: Ukuran Penyebaran Data (Kuartil)
Soal: Dari data penjualan 50 produk dalam satu bulan (dalam ribuan rupiah) diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut:
| Penjualan (ribu Rp) | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 10 – 19 | 4 |
| 20 – 29 | 9 |
| 30 – 39 | 15 |
| 40 – 49 | 12 |
| 50 – 59 | 10 |
Hitunglah:
a. Kuartil pertama ($Q_1$)
b. Kuartil ketiga ($Q_3$)
Pembahasan:
Sama seperti median, kuartil juga merupakan ukuran letak. Kuartil membagi data yang terurut menjadi empat bagian yang sama. $Q_1$ adalah nilai yang membatasi 25% data terbawah, $Q_2$ (median) membatasi 50% data, dan $Q_3$ membatasi 75% data terbawah.
Kita perlu menambahkan kolom frekuensi kumulatif:
| Penjualan (ribu Rp) | Frekuensi (f) | Frekuensi Kumulatif ($f_kum$) | Batas Bawah (L) |
|---|---|---|---|
| 10 – 19 | 4 | 4 | 10 |
| 20 – 29 | 9 | 4 + 9 = 13 | 20 |
| 30 – 39 | 15 | 13 + 15 = 28 | 30 |
| 40 – 49 | 12 | 28 + 12 = 40 | 40 |
| 50 – 59 | 10 | 40 + 10 = 50 | 50 |
| Total | 50 |
Panjang interval kelas (p) = (19 – 10) + 1 = 10
a. Menghitung Kuartil Pertama ($Q_1$)
Posisi $Q_1$ adalah $frac14n$.
Posisi $Q_1 = frac14 times 50 = 12.5$.
Kelas $Q1$ adalah kelas yang memuat data ke-12.5. Dari $fkum$, data ke-12.5 berada di kelas 30 – 39 (karena $fkum$ sebelum kelas ini adalah 13, dan $fkum$ di kelas ini adalah 28).
Rumus kuartil data berkelompok:
$Qk = L + left(fracfrack4n – fkum sebelumf_kelas Q_kright) cdot p$
Untuk $Q1$ ($k=1$):
$L = 30$
$n = 50$
$fkum sebelum$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q1$ = 13
$fkelas Q_1$ = frekuensi kelas $Q_1$ = 15
$p = 10$
$Q_1 = 30 + left(fracfrac14(50) – 1315right) cdot 10$
$Q_1 = 30 + left(frac12.5 – 1315right) cdot 10$
$Q_1 = 30 + left(frac-0.515right) cdot 10$
Perhatian: Ada sedikit kejanggalan pada perhitungan ini karena posisi 12.5 berada di batas atas frekuensi kumulatif sebelumnya. Mari kita periksa ulang.
Koreksi: Jika posisi kuartil tepat pada batas kumulatif sebelumnya, maka kuartil tersebut adalah nilai batas atas dari kelas sebelumnya. Namun, jika posisi berada di dalam kelas, kita gunakan rumus. Dalam kasus ini, 12.5 berada di kelas 30-39.
$f_kum$ sebelum kelas 30-39 adalah 13. Data ke-12.5 berada di kelas tersebut.
$Q1 = 30 + left(frac12.5 – 1315right) cdot 10$
*Sepertinya ada kesalahan interpretasi atau data. Mari kita gunakan nilai $fkum$ yang tepat.*
$fkum$ untuk kelas 10-19 adalah 4.
$fkum$ untuk kelas 20-29 adalah 13.
Data ke-12.5 berada di kelas yang frekuensi kumulatifnya pertama kali mencapai atau melebihi 12.5. Kelas 30-39 memiliki $f_kum$ 28, yang mana 12.5 berada di antara 13 dan 28. Jadi kelas $Q1$ adalah 30-39.
$L = 30$ (batas bawah kelas 30-39)
$fkum sebelum$ = 13 (frekuensi kumulatif kelas 20-29)
$f_kelas Q_1$ = 15 (frekuensi kelas 30-39)
$p = 10$
$Q_1 = 30 + left(frac12.5 – 1315right) cdot 10$
Hasil negatif ini mengindikasikan bahwa kuartil pertama seharusnya berada di kelas sebelumnya. Mari kita periksa kembali posisi.
Posisi $Q1 = 12.5$.
Kelas 10-19 punya $fkum = 4$.
Kelas 20-29 punya $f_kum = 13$.
Data ke-12.5 pertama kali tercapai atau terlampaui di kelas 20 – 29.
Jadi, kelas $Q_1$ adalah 20 – 29.
$L = 20$ (batas bawah kelas 20-29)
$fkum sebelum$ = 4 (frekuensi kumulatif kelas 10-19)
$fkelas Q_1$ = 9 (frekuensi kelas 20-29)
$p = 10$
$Q_1 = 20 + left(frac12.5 – 49right) cdot 10$
$Q_1 = 20 + left(frac8.59right) cdot 10$
$Q_1 = 20 + frac859$
$Q_1 approx 20 + 9.44$
$Q_1 approx 29.44$
Jadi, kuartil pertama nilai penjualan adalah sekitar 29.44 (ribu Rp).
b. Menghitung Kuartil Ketiga ($Q_3$)
Posisi $Q_3$ adalah $frac34n$.
Posisi $Q_3 = frac34 times 50 = 37.5$.
Kelas $Q3$ adalah kelas yang memuat data ke-37.5. Dari $fkum$:
Kelas 10-19: 4
Kelas 20-29: 13
Kelas 30-39: 28
Kelas 40-49: 40
Kelas 50-59: 50
Data ke-37.5 berada di kelas 40 – 49 (karena $fkum$ sebelum kelas ini adalah 28, dan $fkum$ di kelas ini adalah 40).
$L = 40$ (batas bawah kelas 40-49)
$fkum sebelum$ = 28 (frekuensi kumulatif kelas 30-39)
$fkelas Q_3$ = 12 (frekuensi kelas 40-49)
$p = 10$
$Q_3 = 40 + left(frac37.5 – 2812right) cdot 10$
$Q_3 = 40 + left(frac9.512right) cdot 10$
$Q_3 = 40 + frac9512$
$Q_3 approx 40 + 7.92$
$Q_3 approx 47.92$
Jadi, kuartil ketiga nilai penjualan adalah sekitar 47.92 (ribu Rp).
>
Bagian 2: Peluang – Mengukur Ketidakpastian
Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Dalam IPS, konsep peluang sangat berguna dalam analisis risiko, peramalan ekonomi, dan pemahaman situasi yang melibatkan ketidakpastian.
Contoh Soal 3: Kaidah Pencacahan (Permutasi dan Kombinasi)
Soal:
a. Dalam sebuah pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara OSIS dari 10 calon yang memenuhi syarat, berapa banyak susunan pengurus yang mungkin terbentuk jika setiap calon hanya bisa menduduki satu jabatan?
b. Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 8 siswa yang berprestasi. Berapa banyak cara yang berbeda untuk membentuk panitia tersebut?
Pembahasan:
a. Permutasi
Soal ini melibatkan pemilihan objek dari sekumpulan objek dengan memperhatikan urutan. Jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara adalah berbeda, sehingga urutannya penting. Ini adalah masalah permutasi.
Rumus permutasi: $P(n, k) = fracn!(n-k)!$
Dimana:
- $n$ = jumlah total objek (calon) = 10
- $k$ = jumlah objek yang dipilih (jabatan) = 3
$P(10, 3) = frac10!(10-3)! = frac10!7! = frac10 times 9 times 8 times 7!7! = 10 times 9 times 8 = 720$
Jadi, ada 720 susunan pengurus yang mungkin terbentuk.
b. Kombinasi
Soal ini melibatkan pemilihan objek dari sekumpulan objek tanpa memperhatikan urutan. Dalam pembentukan panitia, urutan pemilihan siswa tidak penting; yang penting adalah siapa saja yang terpilih menjadi anggota panitia. Ini adalah masalah kombinasi.
Rumus kombinasi: $C(n, k) = binomnk = fracn!k!(n-k)!$
Dimana:
- $n$ = jumlah total objek (siswa) = 8
- $k$ = jumlah objek yang dipilih (anggota panitia) = 5
$C(8, 5) = frac8!5!(8-5)! = frac8!5!3! = frac8 times 7 times 6 times 5!5! times (3 times 2 times 1) = frac8 times 7 times 66 = 8 times 7 = 56$
Jadi, ada 56 cara berbeda untuk membentuk panitia tersebut.
>
Contoh Soal 4: Peluang Kejadian Majemuk
Soal: Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika dua bola diambil secara acak satu per satu tanpa pengembalian, hitunglah peluang terambilnya:
a. Bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua.
b. Kedua bola berwarna hijau.
Pembahasan:
Total bola dalam kotak = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
a. Peluang bola merah pertama, lalu bola biru kedua (tanpa pengembalian)
Kejadian pertama: Terambil bola merah pada pengambilan pertama.
Peluang bola merah pertama, $P(M_1) = fractextJumlah bola merahtextTotal bola = frac510$
Setelah bola merah pertama diambil dan tidak dikembalikan, sisa bola dalam kotak adalah 9 bola (4 merah, 3 biru, 2 hijau).
Kejadian kedua: Terambil bola biru pada pengambilan kedua.
Peluang bola biru kedua setelah bola merah pertama terambil, $P(B_2 | M_1) = fractextJumlah bola birutextSisa bola = frac39$
Peluang kejadian majemuk (keduanya terjadi berurutan):
$P(M_1 text dan B_2) = P(M_1) times P(B_2 | M_1)$
$P(M_1 text dan B_2) = frac510 times frac39 = frac1590 = frac16$
Jadi, peluang terambilnya bola merah pertama dan bola biru kedua adalah 1/6.
b. Peluang kedua bola berwarna hijau (tanpa pengembalian)
Kejadian pertama: Terambil bola hijau pada pengambilan pertama.
Peluang bola hijau pertama, $P(H_1) = fractextJumlah bola hijautextTotal bola = frac210$
Setelah bola hijau pertama diambil dan tidak dikembalikan, sisa bola dalam kotak adalah 9 bola (5 merah, 3 biru, 1 hijau).
Kejadian kedua: Terambil bola hijau pada pengambilan kedua.
Peluang bola hijau kedua setelah bola hijau pertama terambil, $P(H_2 | H_1) = fractextJumlah bola hijau tersisatextSisa bola = frac19$
Peluang kejadian majemuk (keduanya terjadi berurutan):
$P(H_1 text dan H_2) = P(H_1) times P(H_2 | H_1)$
$P(H_1 text dan H_2) = frac210 times frac19 = frac290 = frac145$
Jadi, peluang terambilnya kedua bola berwarna hijau adalah 1/45.
>
Penutup
Memahami dan menguasai topik-topik statistika dan peluang dalam matematika kelas XI IPS semester 2 akan memberikan Anda fondasi yang kuat untuk menganalisis berbagai data dan membuat keputusan yang lebih informatif di masa depan. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam matematika adalah pemahaman konsep yang mendalam dan latihan soal yang konsisten.
Teruslah berlatih dengan berbagai variasi soal, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada materi yang belum dipahami, dan cobalah untuk menghubungkan konsep-konsep matematika ini dengan fenomena-fenomena yang Anda temui dalam kehidupan sehari-hari. Dengan begitu, matematika akan terasa lebih relevan dan menarik. Semoga sukses!
Tinggalkan Balasan